Question

如圖，已知拋物線C：y²=4x，過點P(

5

2

，1)的直線l與拋物線C交點A、B兩點，且點P為弦AB的中點．
（ I）求直線l的方程；
（ II）若過點P斜率為-2的直線m與拋物線C交點A₁、B₁兩點，求證：PA•PB=PA₁•PB₁；
（ III）過線段AB上任意一點P₁（不含端點A、B）分別做斜率為k₁、k₂（k₁≠k₂）的直線l₁，l₂，若l₁交拋物線C于A₁、B₁兩點，l₂交拋物線C于A₂，B₂兩點，且：P₁A₁•P₁B₁=P₁A₂•P₁B₂，試求k₁+k₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用“點差法”即可得出直線的斜率，再利用點斜式即可得出；
（Ⅱ）把直線參數方程代入拋物線方程，利用參數的幾何意義即可證明；
（Ⅲ）把直線參數方程代入拋物線方程，利用參數的幾何意義即可求出．

解答：解：（Ⅰ）設交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，
兩式相減得

y

2 1

-

y

2 2

=4(x1-x2)，∴

(y1-y2)(y1+y2)

x1-x2

=4，∴k_l×2=4，解得k_l=2．
∴直線l的方程為y-1=2(x-

5

2

)，化為2x-y-4=0．
（Ⅱ）證明：①直線l的參數方程為

x= 5 2 + 1 5 t y=1+ 2 5 t

，代入拋物線方程得(1+

2

5

t)2=4(

5

2

+

1

5

t)，
化為t2=

45

4

，由參數的幾何意義可得PA•PB=-

45

4

．
②由直線m的斜率為-2且過點P，可得參數方程為

x= 5 2 - 1 5 t y=1+ 2 5 t

，代入拋物線方程得(1+

2

5

t)2=4(

5

2

-

1

5

t)，
化為4t2+8

5

t-45=0，由參數的幾何意義可得PA₁•PB₁=-

45

4

．
因此PA•PB=PA₁•PB₁．
（Ⅲ）設點P₁（u，v），直線l₁、l₂的傾斜角分別為α、β，則k₁=tanα，k₂=tanβ，且α，β∈(0，

π

2

)∪(

π

2

，π)．
則直線l₁的參數方程為

x=u+tcosα y=v+tsinα

，代入拋物線方程得（v+tsinα）²=4（u+tcosα），
化為t²sin²α+（2vsinα-4cosα）t+v²-4u=0，
∵△＞0，∴t₁t₂=

v2-4u

sin2α

=P₁A₁•P₁B₁
同理

v2-4u

sin2β

=P₁A₂•P₁B₂
∵P₁A₁•P₁B₁=P₁A₂•P₁B₂
∴sin²α=sin²β，∴sinα=sinβ，而α≠β，∴α=π-β．
∴k₁+k₂的值=tanα+tanβ=-tanβ+tanβ=0．

點評：熟練掌握“點差法”直線的點斜式、直線與拋物線相交問題的解題模式、根與系數的關系、直線參數的幾何意義是解題的關鍵．