Question

設函數f（x）=px-

q

x

-2lnx，且f（e）=pe-

q

e

-2，（其中e=2.1828…是自然對數的底數）．
（1）求p與q的關系；
（2）若f（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍；
（3）設g(x)=

2e

x

，若在[1，e]上存在實數x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意f（x）=px-

q

x

-2lnx，且f（e）=pe-

q

e

-2，將其移項通分就可以看出來了；
（2）首先求出函數的導數f′（x），因為f（x）在其定義域內為單調函數，說明導數恒大于或小于0，從而求出p的取值范圍；
（3）先假設存在，因為設g(x)=

2e

x

，若在[1，e]上存在實數x₀，使得f（x₀）＞g（x₀），在區間[1，e]上分別求出f（x）和g（x）的最大值和最小值，然后討論求解．

解答：解：（1）∵f（e）=pe-

q

e

-2，
∴（p-q）e=

q-p

e

，∴p-q=0，
∴p=q；
（2）f′（x）=p+

p

x2

-

2

x

≥0，或f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
?p≥

2

x

•

x2

x2+1

=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

或p≤

2

x+ 1 x

?p≥1或p≤0；
（3）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是減函數
∴x=e時，g（x）_min=2；
x=1時，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]
①p≤0時，由（2）知f（x）在[1，e]遞減?f_max（x）=f（1）=0＜2，不合題意
②0＜p＜1時，由x∈[1，e]?x-

1

x

∈[0，e-

1

e

]
∴f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx＜x-

1

x

-2lnx＜e-

1

e

-2lne=e-

1

e

-2＜2，不合題意
③p≥1時，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數，故只需f（x）_max＞g（x）_min=2，
x∈[1，e]而f(x)max=f(e)=p(e-

1

e

)-2lne，g(x)min=2
由

p(e- 1 e )-2lne＞2 p≥1

，解得p＞

4e

e2-1

，故p的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點評：此題主要考查對數函數的導數，函數單調性的判定，函數最值，函數、方程與不等式等基礎知識，一般出題者喜歡考查學生的運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學生會用數形結合的思想、分類與整合思想，化歸與轉化思想、有限與無限的思想來解決問題．