Question

已知橢圓 (a>b>0)的一個頂點為A(0，1)，且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數．

　 (I)求橢圓的方程：

(Ⅱ)過A點且斜率為k的直線與橢圓相交于A、B兩點，點M在橢圓上，并且滿足OM=OA+OB，求k的值．

Answer 1

解：(I)雙曲線的離心率為．∴橢圓的離心率為

∵橢圓（a>b>0）的一個頂點為A（0，1），∴b=1．

∴   ∴   ∴橢圓的方程為

(Ⅱ)過A點且斜率為k的直線的方程是y=kx+1，代入到橢圓方程中，消去y并整理得(1+4k²)x²+8kx=0．   

    顯然這個方程有兩解．設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x，y)，則可解得

    ，    ∴,  

    即A(0,1),  B(,)         

   ∴ (,)

    ∴,    

將E點的坐標代入到橢圓方程中，并去分母可得

          

展開整理得       ∴  

方法二：

    (Ⅱ)過A點且斜率為k的直線的方程是y=kx+1，代入到橢圓方程中，消去y并整理得(1+4k²)x²+8kx=0．①   

顯然這個方程有兩解．設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x，y)，則

∵OM=OA+OB    ∴(x，y)=  (x₁，y₁)+  (x₂，y₂)

∴  ,  

∵點M在C上，∴

∴

∴

∴,  即．②

又由①式知： ， ,  代入②式得,