Question

已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，它的一個頂點為A（0，2），離心率e=

6

3

．
（1）求橢圓的方程；（2）直線l：y=kx-2（k∈R且k≠0），與橢圓相交于不同的兩點M、N，點P為線段MN的中點且有AP⊥MN，求實數k的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用題中條件列出方程組

b=2 c a = 6 3 a2=b2+c2

，解方程組即可求橢圓的方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯立，可得關于點M、N坐標的等式，再利用中點坐標公式求出點P的坐標，代入由AP⊥MN得到的KAP=-

1

k

 即可 求實數k的值．

解答：解：（1）由它的一個頂點為A（0，2），離心率e=

6

3

．得

b=2 c a = 6 3 a2=b2+c2

，
解得

a2=12 b2=4 c2=8

，
故橢圓的方程

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）聯立

x2 12 + y2 4 =1 y=kx-2

?（1+3k²）x²-12kx=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y）
則x1+x2=

12k

1+3k2

，
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-

4

1+3k2

．
故x=

6k

1+3k2

，y=-

2

1+3k2

             
有AP⊥MN?KAP=-

1

k

?

- 2 1+3k2 -2

6k 1+3k2

=-

1

k

?

2+2(1+3k2)

6k

=

1

k

?k2=

1

3

?k=±

3

3

．
故實數k的值為 ±

3

3

．

點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及橢圓標準方程的求法．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點．