Question

已知點P（2，0）及⊙C：x²+y²-6x+4y+4=0.

(1)當直線l過點P且與圓心C的距離為1時，求直線l的方程；

(2)設過點P的直線與⊙C交A、B兩點，當|AB|=4時，求以線段AB為直徑的圓的方程.

Answer 1

解析：(1)依題意，⊙C標準方程為（x-3）²+(y+2)²=9.

設所求直線l的方程為y=k(x-2)(斜率存在)，由圓心到直線的距離

d==1.解得k=-,

∴l的方程為3x+4y-6=0.

又當l的斜率不存在時，也滿足題意，此時l的方程為x=2,

故所求直線l的方程為3x+4y-6=0或x=2.

(2)解法一：由平面幾何知識，當|AB|=4時，圓心C（3，-2）到直線AB的距離

d=,又|PC|=，

∴CP⊥AB，P為弦AB的中點.

故以線段AB為直徑的圓的方程是（x-2）²+y²=4.

解法二：若直線AB的斜率不存在，即直線為x=2，此時|AB|=42，不合題意，故可設直線AB方程為y=k(x-2),由圓心C到直線AB的距離

d==，解得k=.

將y=x-1代入x²+y²-6x+4y+4=0并整理，得5x²-20x+4=0.

∴AB中點橫坐標x₀==2，從而y₀=0.

故以線段AB為直徑的圓的方程是（x-2）²+y²=4.