Question

設定義在R上的函數f(x)是最小正周期為2π的偶函數；f′(x)是f(x)的導函數，當x∈[0，π]時，0＜f(x)＜1；當x∈(0，π)且x≠時，f′(x)＞0.則函數y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零點個數為________．

 

Answer 1

4

【解析】∵f′(x)＞0，x∈(0，π)且x≠.

∴當0＜x＜時，f′(x)＜0，f(x)在上遞減．

當＜x＜π時，f′(x)＞0，f(x)在上遞增．

∵x∈[0，π]時，0＜f(x)＜1.∴當x∈[π，2π]，則0≤2π－x≤π.

又f(x)是以2π為最小正周期的偶函數，

知f(2π－x)＝f(x)．∴x∈[π，2π]時，仍有0＜f(x)＜1.

依題意及y＝f(x)與y＝sin x的性質，在同一坐標系內作y＝f(x)與y＝sin x的簡圖．

則y＝f(x)與y＝sin x，x∈[－2π，2π]有4個交點．

故函數y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上有4個零點．