Question

（本小題滿分14分）
已知函數，．
（Ⅰ）求函數的極值；
（Ⅱ）判斷函數在區間上零點的個數，并給予證明；
（Ⅲ）閱讀右邊的程序框圖，請結合試題背景簡要描述其算法功能，并求出執行框圖所表達的算法后輸出的值．

Answer 1

(1) 當時，取得極小值，無極大值
(2) 函數在區間上有且只有一個零點.,根據構造函數思想，利用端點值函數值異號判定。
(3) 輸出的值為4

試題分析：解：（Ⅰ）∵，，……………1分
當時，；當時，.……………3分
當時，取得極小值，無極大值.……………4分
（Ⅱ）函數在區間上有且只有一個零點.    ……………5分
證明如下：
∵，
，
，
函數在區間上必定存在零點.      ………6分
∵，當時，，
在區間上單調遞增，             8分
∴函數在區間上的零點最多一個.    ……9分
綜上知：函數在區間上存在唯一零點．
（Ⅲ）程序框圖的算法功能：找出最小的正整數,使的零點滿足.               …10分
∵，
當時，；
當時，.   ……11分
又在區間上單調遞增，
當時，；當時，.………13分
輸出的值為4． …………………………………14分
點評：本題主要考查函數、導數、零點、算法初步等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想。