Question

（本小題滿分15分）如圖，設P是拋物線：上的動點。過點做圓的兩條切線，交直線：于兩點。

   （Ⅰ）求的圓心到拋物線 準線的距離。

（Ⅱ）是否存在點，使線段被拋物線在點處得切線平分，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

本題主要考查拋物線幾何性質，直線與拋物線、直線與圓的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。滿分15分。

   （Ⅰ）解：因為拋物線C₁的準線方程為：

       所以圓心M到拋物線C₁準線的距離為：

   （Ⅱ）解：設點P的坐標為，拋物線C₁在點P處的切線交直線于點D。

       再設A，B，D的橫坐標分別為

       過點的拋物線C₁的切線方程為：

                （1）

       當時，過點P（1，1）與圓C₂的切線PA為：

       可得

       當時，過點P（—1，1）與圓C₂的切線PA為：

       可得

      

       所以

       設切線PA，PB的斜率為，則

                    （2）

          （3）

       將分別代入（1），（2），（3）得

      

       從而

       又

       即

       同理，

       所以是方程的兩個不相等的根，從而

       因為

       所以

       從而

       進而得

       綜上所述，存在點P滿足題意，點P的坐標為