Question

已知函數f(x)=log(x+)(a＞1,x≥1).?

(1)求它的反函數f ^-1 (x),并指出f ^-1 (x)的定義域;

(2)當1＜a＜2時,證明f ^-1 (n)＜ (n∈N^*).

Answer 1

(1)解析:∵ (a＞1,x≥1),?

∴有x+ =a^y,兩邊平方化簡可得=a^y-x,即有x²-1=a^2y-2a^yx+x²,

也即.?

∴f　^-1 (x)=(a^x+a^-x).?

又∵a＞1,x≥1,?

∴可知x+≥1.?

由y=log_ax，當a＞1時，在x∈(0,+∞)上是增函數可知≥0.?

∴y=f(x)的反函數為f ^-1(x)=  (a^x+a ^-x),其定義域為x∈［0，+∞).

(2)證明:用比較法.?

∵f ^-1(n)-  (2ⁿ+2^-n)=  (aⁿ+a ^-n)-  (2ⁿ+2^-n)

=,?

又由于1＜a＜2,?

∴aⁿ-2ⁿ＜0,(2a)ⁿ-1＞0,aⁿ＞0.?

則可知＜0,?

即f　^-1(n)-＜0.?

故f^-1(n)＜  (2ⁿ+2^-n)(n∈N^*).