Question

由一個數列中部分項按原來次序排列的數列叫做這個數列的子數列，試在無窮等比數列

1

2

，

1

4

，

1

8

，…中找出一個無窮等比的子數列，使它所有項的和為

1

7

，則此子數列的通項公式為

1

8n

．

Answer 1

分析：設此子數列的首項為a₁=（

1

2

）^m，公比為q=（

1

2

）^r，所有各項之和為

a1

1-q

=

( 1 2 )m

1-( 1 2 )r

=

1

7

，由此能求出此子數列通項公式．

解答：解：∵無窮等比數列

1

2

，

1

4

，

1

8

，…中一個無窮等比的子數列所有項的和為

1

7

，
∴此子數列的首項為a₁=（

1

2

）^m，公比為q=（

1

2

）^r，
所有各項之和為

a1

1-q

=

( 1 2 )m

1-( 1 2 )r

=

1

7

，
整理，得2^m-r（2^r-1）=7，
解得m=r=3．
∴a₁=q=（

1

2

）³=

1

8

，
∴此子數列通項公式為a_n=a₁q^n-1=

1

8n

．
故答案為：a_n=

1

8n

．

點評：本題考查數列通項公式的求法，解題的關鍵是正確理解子數列的含義，準確設出子數列的首項和公比，知道等比數列中所有各項之和為

a1

1-q

．