Question

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-5a的解集非空，則實數a的取值范圍是

a≥4或a≤1

．

Answer 1

分析：令f（x）=|x+3|-|x-1|，可求得f（x）_min，依題意，a²-5a≥f（x）_min，解之即可．

解答：解：令f（x）=|x+3|-|x-1|，
則當x＜-3時，f（x）=-x-3+x-1=-4；
當-3≤x≤1時，f（x）=2x+2∈[-4，4]；
當x＞1時，f（x）=x+3-x+1=4；
∴f（x）_min=-4．
∵不等式|x+3|-|x-1|≤a²-5a的解集非空，
∴a²-5a≥f（x）_min=-4，
∴a²-5a+4≥0．
解得：a≥4或a≤1．
∴實數a的取值范圍是a≥4或a≤1．
故答案為：a≥4或a≤1．

點評：本題考查絕對值不等式，考查構造函數思想與方程思想，考查理解題意與推理運算的能力，屬于中檔題．