Question

設S_n，T_n分別是數列{a_n}，{b_n}的前n項的和，且滿足a₁=2，2a_n+1=a_n+n，a_n=b_n+n-2（n∈N^*）
（1）求b_n；（2）是否存在實數λ，使數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列？

Answer 1

分析：（1）通過a₁=2，2a_n+1=a_n+n，a_n=b_n+n-2，推出{b_n}是等比數列，然后求b_n；
（2）求出T_n，S_n，R然后化簡

Sn+λTn

n

，使數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列，就是表達式為n的一次函數即可．

解答：解：（1）由題a₁=2，2a_n+1=a_n+n，a_n=b_n+n-2，知bn+1=

1

2

bn⇒bn=3(

1

2

)n-1
（2）存在λ=-1時，使數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列，證明如下：
由（1）可知Tn=6[1-(

1

2

)n]，
由an=bn+n-2⇒Sn=Tn+

n(n-3)

2

，
得

Sn+λTn

n

=

n-3

2

+

6(1+λ)[1-( 1 2 )n]

n

，
使數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列，上式是n的一次函數，
所以當λ=-1時符合題意，
故λ=-1．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，前n項和的求法，等差數列的判斷，考查邏輯推理能力，計算能力．