Question

 (本小題滿分14分)

已知集合是滿足下列性質的函數的全體, 存在非零常數, 對任意, 有成立.

(1) 函數是否屬于集合？說明理由;

(2) 設, 且, 已知當時, , 求當時, 的解析式.

（3）若函數，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) . (2)當時, .

(3）{k|k= nπ, n∈Z}     

【解析】(1) 假設函數屬于集合, 則存在非零常數, 對任意, 有成立,即: 成立.在不成立的情況下，易用反例說明.因而 令, 則, 與題矛盾. 故.  

(2)解決本題的關鍵是，根據1<x+4<2,從而根據時, 求出f(x)的表達式.

(3) 解本題應討論當k=0和k≠0兩種情況.

然后解決本題的突破口是對任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx    

因為k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 

故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，下面再對T=1和T=-1兩種情況進行討論.

解:(1) 假設函數屬于集合, 則存在非零常數, 對任意, 有成立,

即: 成立. 令, 則, 與題矛盾. 故. …………5分

注：只要能判斷即可得1分.

(2) , 且, 則對任意, 有,

設, 則, …………8分  

當時, ,

故當時, .  …………10分  

3）當k=0時，f(x)=0，顯然f(x)=0∈M.    …………11分  

當k≠0時，因為f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常數T，對任意x∈R，有

f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .      

因為k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 

故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=， …………12分

①當T=1時，sin(kx+k)=sinkx 成立，則k=2mπ, m∈Z .

②當T=－1時，sin(kx－k)=－sinkx 成立，

即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，

則－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－(2m－1)π, m∈Z .  …………13分      

綜合得，實數k的取值范圍是{k|k= nπ, n∈Z}   …………14分