Question

（2012•開封一模）（選做題）已知函數f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥3的解集為{x|x≤1或x≥5}，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+4）≥m對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出不等式f（x）≥3的解集，和已知的解集作對比，從而求得實數a的值．
（Ⅱ）設g（x）=f（x）+f（x+4）=|x-2|+|x+2|，表示數軸上的x對應點到2和-2對應點的距離之和，它的最小值
為4，從而求得實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由不等式f（x）≥3可得|x-a|≥3，解得 x≤a-3，或x≥a+3．
再由f（x）≥3的解集為{x|x≤1或x≥5}，可得a-3=-1，a+3=5，解得a=2．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（x）=|x-2|，設g（x）=f（x）+f（x+4），
則g（x）=|x-2|+|x+2|，表示數軸上的x對應點到2和-2對應點的距離之和，它的最小值為4，
若f（x）+f（x+4）≥m對一切實數x恒成立，應有4≥m．
故實數m的取值范圍為（-∞，4]．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．