Question

設關于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α、β，且α＜β．定義函數f(x)=

2x-m

x2+1

.
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）在區間（α，β）上的單調性，并加以證明；
（Ⅲ）若λ，μ為正實數，證明不等式：|f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)| ＜ |α-β|.

Answer 1

分析：（1）因為α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根，則利用根與系數的關系即f（x）的解析式求出f（α）和f（β）即可求出αf（α）+βf（β）的值；
（2）求出函數的導函數并利用二次函數圖象的性質推導出導函數大于零則該函數為增函數；（3）此題要證不等式成立，先求出

λα+μβ

λ+μ

和

μα+λβ

λ+μ

的取值范圍，根據函數的增減性判斷出其函數值的取值范圍把兩個函數值相減的左邊不等式在根據（1）中的結論推出得證．

解答：解：（Ⅰ）α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根
∴

α+β=m α•β=-1

∴f(α)=

2α-m

α2+1

=

2α-(α+β)

α2-αβ

=

α-β

α(α-β)

=

1

α

同理f(β)=

1

β

∴αf（α）+βf（β）=2
（Ⅱ）∵f(x)=

2x-m

x2+1

∴f′(x)=

2(x2+1)-(2x-m)•2x

(x2+1)2

=-

2(x2-mx-1)

(x2+1)2

當x∈（α，β）時，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0
而f'（x）＞0
∴f（x）在（α，β）上為增函數
（Ⅲ）∵λ，μ∈R₊且α＜β
∴

λα+μβ

λ+μ

-α=

λα+μβ-(λ+μ)α

λ+μ

=

μ(β-α)

λ+μ

＞0

λα+μβ

λ+μ

-β=

λα+μβ-(λ+μ)β

λ+μ

=

λ(α-β)

λ+μ

＜0
∴α＜

λα+μβ

λ+μ

＜β
由（Ⅱ）可知f(α)＜f(

λα+μβ

λ+μ

)＜f(β)
同理可得f(α)＜f(

μα+λβ

λ+μ

)＜f(β)
∴f(α)-f(β)＜f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)＜f(β)-f(α)
∴|f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)|＜|f(α)-f(β)|
又由（Ⅰ）知f(α)=

1

α

，f(β)=

1

β

，αβ=-1
∴|f(α)-f(β)|=|

1

α

-

1

β

|=|

β-α

αβ

|=|α-β|
所以|f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)| ＜ |α-β|.

點評：考查學生函數與方程的綜合運用能力．