Question

半徑為1的球內切于圓錐，已知圓錐母線與底面夾角為2θ.

（1）求證：圓錐的母線與底面圓半徑之和為；

（2）求證：圓錐的全面積為；

（3）當θ為何值時，圓錐的全面積最小?

Answer 1

(1)證明:作圓錐軸截面如圖所示，設底面圓半徑為r,母線長為l.

由∠PBC=2θ，得∠OBC=∠OBE=θ且OC=OE=1.

r=BC=OC·cotθ=cotθ,

PE=OE·cot(-2θ)=tan2θ,

∴l+r=PE+2r=.

(2)證明:∵l=PB=PE+EB=PE+BC=,

∴S_圓錐全=πr²+πrl=πr(r+l)=.

(3)解析:由（2），要使S_全最小，只需tan²θ(1-tan²θ)最大，

而tan²θ(1-tan²θ)≤,

故tan²θ=1-tan²θ,

即tanθ=(θ為銳角）.

∴θ=arctan時，有S_全最小==8π.