Question

若非空集合A={x|

9-5x2

9-x2 +2x

＞m，x∈Z}至多含有4個元素，則實數m的取值范圍是

[2

2

-2，4+

5

）

．

Answer 1

分析：利用分母有理化，可將

9-5x2

9-x2 +2x

＞m（m∈Z）轉化為

9-x2

-2x＞m（x∈Z），依題意：非空集合A={x|

9-x2

-2x＞m，x∈Z}至多含有4個元素即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：∵

9-5x2

9-x2 +2x

=

(9-5x2)( 9-x2 -2x)

( 9-x2 +2x)( 9-x2 -2x)

=

(9-5x2)( 9-x2 -2x)

(9-x2-4x2)

=

9-x2

-2x，
∴A={x|

9-5x2

9-x2 +2x

＞m，x∈Z}={x|

9-x2

-2x＞m，x∈Z}；
∵9-x²≥0，
∴-3≤x≤3，又x∈Z，
∴x=-3，-2，-1，0，1，2，3；
令g（x）=

9-x2

-2x，
則當x=-3時，g（-3）=6，
同理得g（-2）=4+

5

，g（-1）=2

2

+2，g（0）=3，g（1）=2

2

-2，g（2）=

5

-4，g（3）=-6，
將它們排列如下：

當m≥

5

+4時，A=∅，與非空集合A矛盾，不符合題意；
當m≥6時，A={-3}，符合題意；
當m≥2

2

+2時，A={-2，-3}，符合題意；
當m≥3時，A={-1，-2，-3}，符合題意；
當m≥2

2

-2時，A={0，-1，-2，-3}，符合題意；
∵非空集合A={x|

9-x2

-2x＞m，x∈Z}至多含有4個元素，
∴2

2

-2≤m＜4+

5

．
∴實數m的取值范圍是[2

2

-2，4+

5

）．

點評：本題考查無理不等式的解法，著重考查分母有理化的應用，求得非空集合A={x|

9-x2

-2x＞m，x∈Z}是關鍵，也是難點，考查轉化思想與分析運算能力，屬于難題．