Question

設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
（此題不要求在答題卡上畫圖）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)準(zhǔn)線方程求得a和c，則b可得，進(jìn)而求得橢圓的方程．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中的橢圓方程可求得A，B的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入橢圓方程，由P、A、M三點(diǎn)共線可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出•根據(jù)2-x＞0判斷出•＞0，進(jìn)而可知∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，判斷出點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
解答：解：（Ⅰ）依題意得a=2c，=4，
解得a=2，c=1，從而b=．
故橢圓的方程為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)M（x，y）．
∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，
∴y²=（4-x²）（1）
又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，
∴-2＜x＜2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得
P（4，）．
從而=（x-2，y），=（2，）．
∴•=2x-4+=（x²-4+3y²）．（2）
將（1）代入（2），化簡得•=（2-x）．
∵2-x＞0，
∴•＞0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
點(diǎn)評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．