Question

已知曲線C的方程為kx²+（4-k）y²=k+1（k∈R）．
（1）若曲線C是橢圓，求k的取值范圍；
（2）若曲線C是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角是60°，求此雙曲線的方程；
（3）滿足（2）的雙曲線上是否存在兩點P、Q關于直線l：y=x-1對稱，若存在，求出過P、Q的直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當k=0或k=-1或k=4時，C表示直線；當k≠0且k≠-1且k≠4時方程為

x2

k+1 k

+

y2

k+1 4-k

=1，由此能求出若曲線C是橢圓，k的取值范圍．
（2）曲線C是雙曲線的充要條件是

k+1

k

•

k+1

4-k

＜0，即k＜-1或-1＜k＜0或k＞4．再由有一條漸近線的傾斜角是60°，能求出雙曲線方程．
（3）若存在，設直線PQ的方程為：y=-x+m．由

y=-x+m 6x2-2y2

=7，得4x²+4mx-2m²-7=0．由此能推導出存在滿足條件的P、Q，直線PQ的方程為y=-x-

1

2

．

解答：解：（1）當k=0或k=-1或k=4時，C表示直線；
當k≠0且k≠-1且k≠4時方程為

x2

k+1 k

+

y2

k+1 4-k

=1，①
方程①表示橢圓的充要條件是

k+1 k ＞0  k+1 4-k ＞0 k+1 k ≠ k+1 4-k

即是0＜k＜2或2＜k＜4．
（2）方程①表示雙曲線的充要條件是

k+1

k

•

k+1

4-k

＜0，
即k＜-1或-1＜k＜0或k＞4．
①當k＜-1或k＞4時，雙曲線焦點在x軸上，
a²=

k+1

k

，b²=

k+1

k-4

，
其一條漸近線的斜率為

b

a

=

k+1 k-4

k+1 k

=

3

，得k=6．
②當-1＜k＜0時，雙曲線焦點在y軸上，
a²=

k+1

4-k

，b²=-

k+1

k

，
其一條漸近線的斜率為

a

b

=

- k+1 k

k+1 4-k

=

3

，得k=6（舍），
綜上得雙曲線方程為

x2

7 6

-

y2

7 2

=1．
（3）若存在，設直線PQ的方程為：y=-x+m．
由

y=-x+m 6x2-2y2

=7，
消去y，
得4x²+4mx-2m²-7=0．②
設P、Q的中點是M（x₀，y₀），則

x0=- m 2 y0= 3m 2

M在直線l上，
∴

3m

2

=-

m

2

-1，解得m=-

1

2

，方程②的△＞0，
∴存在滿足條件的P、Q，直線PQ的方程為y=-x-

1

2

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．