Question

給出下列三個命題：
①函數y=

1

2

ln

1-cos x

1+cos x

與y=lntan

x

2

是同一函數；
②若函數y=f（x）與y=g（x）的圖象關于直線y=x對稱，則函數y=f（2x）與y=

1

2

g（x）的圖象也關于直線y=x對稱；
③如圖，在△ABC中，

AN

=

1

3

NC

，P是BN上的一點，若

AP

=m

AB

+

2

11

AC

，則實數m的值為

3

11

．
其中真命題是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．②

Answer 1

分析：①分別求出兩個函數的定義域，利用定義域和對應法則進行判斷．②根據函數關于直線y=x對稱的性質進行判斷．③利用向量共線的共線定理以及平面向量的定理進行判斷．

解答：解：①要使函數y=

1

2

ln

1-cos x

1+cos x

有意義，則

1-cos x

1+cos x

＞0，即（1+cosx）（cosx-1）＜0，解得-1＜cosx＜1，
∴x≠kπ，k∈Z，要使y=ln tan

x

2

有意義，則tan

x

2

＞0，即kπ＜

x

2

＜kπ+

π

2

，解得2kπ＜x＜2kπ+π，兩個函數的定義域不同，∴不是同一函數，即①錯誤．
②∵函數y=f（x）與y=g（x）的圖象關于直線y=x對稱，∴設（x，y）是y=f（2x）上的點，則2x=g（y），即x=

1

2

g(y)，即數y=f（2x）關于y=x對稱函數為y=

1

2

g(x)，∴②正確．
③∵

AN

=

1

3

NC

，

AP

=m

AB

+

2

11

AC

，設

BP

=λ

BN

，則

AP

=

AB

+

BP

=

AB

+λ

BN

=

AB

+λ(

AN

-

AB

)=(1-λ)

AB

+

λ

4

AC

，
∵

AP

=m

AB

+

2

11

AC

，
∴m=1-λ，且

λ

4

=

2

11

，解得λ=

8

11

，m=

3

11

．∴③正確．
故選：C．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點有函數的性質，平面向量的向量分解，綜合性較強．