Question

設

a

，

b

是兩個互相垂直的單位向量，已知向量

m

=k

a

+

b

，

n

=

a

+k

b

，(k＞0)且向量

m

與

n

夾角θ的余弦值為f(k)，
（1）求f（k）的表達式．
（2）求f（k）的值域及夾角θ=60°時的k值．
（3）在（1）的條件下解關于k的不等式：f[f(k)]＜

-3ak2+(a2+4)k

k4+6k2+1

，(a∈R)．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥

b

，|

a

|=|

b

|=1可求

m

•

n

=2k，|

m

|2=(k

a

+

b

)2=1+k2，|

n

|2=

1+k2

，代入f（k）=cosθ=

m • n

| m | | n |

可求θ∈[0，

1

2

π)
（2）由1+2k²≥2k可得f（k）∈（0，1]結合θ=60°可知cosθ=

2k

1+k2

=

1

2

，可求k
（3）由（1）可得f[f（k）]=

2× 2k 1+k2

1+( 2k 1+k2 )2

=

4k(1+k2)

1+6k2+k4

＜

-3ak2+(4+a2)k

1+6k2+k4

?4k(k+a)(k-

a

4

)＜0，k＞0，分類討論：分a＞0時，當a=0時，當a＜0時，三種情況分別求解

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

∴

a

•

b

=0，
∵|

a

|=|

b

|=1
∴

m

•

n

=(k

a

+

b

)(

a

+k

b

)=k

a

2+(1+k2 )

a

•

b

+k

b

2=2k
∵|

m

|2=(k

a

+

b

)2=1+k2，同理可得|

n

|2=

1+k2

  
∴f（k）=cosθ=

m • n

| m | | n |

=

2k

1+k2

（k＞0）…（4分）
（2）因為1+2k²≥2k當且僅當k=1時等號成立
所以f（k）∈（0，1]，
當θ=60°時，cosθ=

2k

1+k2

=

1

2

∴k=2±

3

  （8分）
（3）由（1）可得f[f（k）]=f（

2k

1+k2

）=

2× 2k 1+k2

1+( 2k 1+k2 )2

=

4k(1+k2)

1+6k2+k4

＜

-3ak2+(4+a2)k

1+6k2+k4

?4k³+4k＜-3ak²+（4+a²）k
?k（4k²+3ak-a²）＜0
?4k(k+a)(k-

a

4

)＜0，
∵k＞0
當a＞0時，解可得0＜k＜

a

4

當a=0時，解為k＜0且k＞0，此時k不存在
當a＜0時，解為0＜k＜-a
綜上所述：當a＞0時，解集為{k|0＜k＜

a

4

}；
當a=0時，解集為∅
當a＜0時，解集為{k|0＜k＜-a}（12分）

點評：本題主要考查了向量的數量積的應用，向量夾角公式的應用，及不等式的求解，屬于綜合試題