Question

設函數.

若是函數的極值點，1和是函數的兩個不同零點，且，求.

若對任意，都存在（為自然對數的底數），使得成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）對零點存在性定理的考查，借助是極值及1是零點建立兩個方程解出和，然后對函數進行求導定出其單調性，再利用零點存在性定理嘗試算出和，發現異號，得出零點所在的區間；（2）首先需要我們將兩個變量的不等式恒成立問題轉化成常見的一個變量的不等式有解問題，然后再構造這個不等式為函數，為了找的最小值并且讓其小于0，我們利用試根法試出，然后只要讓右零點在端點1右邊即可，解出范圍.

試題解析：(1)，∵是函數的極值點，∴.∵1是函數的零點，得，由解得. ∴,，

令，，得；   令得，所以在上單調遞減；在上單調遞增.故函數至多有兩個零點，其中，因為，，，所以，故．

(2)令，，則為關于的一次函數且為增函數，根據題意，對任意，都存在，使得成立，則在有解，令，只需存在使得即可，=，令，∵的兩個零點分布在左右，又∵，∴的右零點必須大于1，∴，解得.綜上所述，當時，對任意，都存在，使得成立.

考點：1.零點存在性定理；2.根的分布.