Question

已知．
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）證明f（x）是定義域內的增函數；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

（1）∵f（-x）==-f（x），∴f（x）為奇函數
（2）
在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＞x₂
∴
而y=10^x在R上為增函數，∴，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上為增函數．
（3），而10^2x＞0，即，∴-1＜y＜1．
所以f（x）的值域是（-1，1）．
分析：（1）求出f（-x）的表達式，看其和f（x）的關系下結論．
（2）用單調性的定義取點，作差，變形，判斷來證明即可．
（3）把原函數整理成 利用10^2x的范圍求值域即可．
點評：本題綜合考查了函數的奇偶性和單調性的證明以及對函數單調性的應用，是一道不可多得的好題．在用定義證明或判斷一個函數在某個區間上的單調性時，基本步驟是取點，作差或作商，變形，判斷．