Question

在半徑為R的圓的內接四邊形ABCD中，AB=

3

-1，BC=

3

+1，cos∠ABC=-

1

4

，且△ACD的面積等于△ABC面積的3倍，求：
（1）圓的半徑R；
（2）

DA

•

DC

的值；
（3）四邊形ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）求半徑有如下方法：構造含半徑R的三角形，解三角形求出半徑R值；或是根據正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，根據本題的已知條件，可知用正弦定理相對可行，故可由余弦定理求出AC，再由正弦定理求R．
（2）要求

DA

•

DC

，根據向量數量積的計算公式，我們要求出兩個向量模的積及夾角的余弦值，由∠B與∠D互補，夾角的余弦值易得，然后根據△ACD的面積等于△ABC面積的3倍，也可以得到兩個向量模的積，代入可得答案．
（3）由AB=

3

-1，BC=

3

+1，我們要求四邊形的周長，關鍵是要求出AD、CD邊的長，結合（2）結論和余弦定理，易得答案．

解答：解：（1）在三角形ABC中，
有余弦定理：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC，
∵AB=

3

-1，BC=

3

+1，cos∠ABC=-

1

4

，
所以AC=3，
由正弦定理可知：

AC

sin∠ABC

=2R=

3

15 4

，
∴R=

2 15

5

；
（2）

DA

•

DC

=|DA|•|DC|cos∠ADC=

1

4

|DA|•|DC|，
因為△ACD的面積等于△ABC面積的3倍，
即

1

2

•DA•DC•sin∠ADC=3•

1

2

•BA•BC•sin∠ABC
∴DA•DC=3BA•BC，
∵BA•BC=2，
∴

DA

•

DC

=

3

2

；
（3）三角形ADC中，有AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠DAC，
又∵DA•DC=6，所以有AD²+AC²=12，
從而有DA+DC=2

6

，
所以四邊形ABCD的周長為2

6

+2

3

．

點評：此題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式以及平面向量的數量積運算，求圓的半徑有如下方法：①構造含半徑R的三角形，解三角形求出半徑R值；②如果圓為△ABC的外接圓，則根據正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R；③如果圓為△ABC的內切圓，則根據面積公式S=

1

2

•l•r（其中l表示三角形的周長）．熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．