Question

設x+y+z=1，求F=2x²+3y²+z²的最小值．

Answer 1

分析：利用已知等式，兩邊平方，構造所求表達式有關的柯西不等式，然后求出F的最小值．

解答：

解：∵1=(x+y+z)2=( 1 2 • 2 x+ 1 3 • 3 y+1•z)2 ≤( 1 2 + 1 3 +1)(2x2+3y2+z2) ∴F=2x2+3y2+z2≥ 6 11

（8分）
當且僅當

2 x

1 2

=

3 y

1 3

=

z

1

且x+y+z=1，x=

3

11

，y=

2

11

，z=

6

11

F有最小值

6

11

（12分）

點評：本題考查柯西不等式在函數極值中的應用，構造關系式是本題的難點也是關鍵點，考查計算能力．