Question

(理)設a＞0,函數f(x)=+a.

(1)若f(x)在區間(0,1］上是增函數,求a的取值范圍;

(2)求f(x)在區間(0,1］上的最大值.

(文)設直線l:y=x+1與橢圓=1(a＞b＞0)相交于A、B兩個不同的點,與x軸相交于點F.

(1)證明a²+b²＞1;

(2)若F是橢圓的一個焦點,且,求橢圓的方程.

Answer 1

答案：(理)解：(1)對函數f(x)求導數,得f′(x)=1.

要使f(x)在區間(0,1]上是增函數,只要f′(x)=1≥0在(0,1]上恒成立,

即a≤在(0,1]上恒成立.

因為1+在(0,1]上單調遞減,所以1+在(0,1]上的最小值是.

注意到a＞0,所以a的取值范圍是(0,].

(2)①當0＜a≤時,由(1),知f(x)在(0,1]上是增函數,此時f(x)在區間(0,1]上的最大值是f(1)=1+(1-)a.

②當a＞時,令f′(x)=1=0,解得x=∈(0,1).

因為當0＜x＜時,f′(x)＞0;當＜x＜1時,f′(x)＜0,

所以f(x)在(0,)上單調遞增,在(,1)上單調遞減.

此時f(x)在區間(0,1]上的最大值是f()=a-a²-1.

綜上,當0＜a≤時,f(x)在區間(0,1]上的最大值是1+(1-)a;

當a＞時,f(x)在區間(0,1]上的最大值是.

(文)(1)證明:將y=x+1,代入=1,消去x,得(a²+b²)y²-2b²y+b²(1-a²)=0.① 

由直線l與橢圓相交于兩個不同的點,得Δ=4b⁴-4b²(a²+b²)(1-a²)=4a²b²(a²+b²-1)＞0,

所以a²+b²＞1.

(2)解:設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由①,得y₁+y₂=,y₁y₂=.

因為,得y₁=-2y₂.所以y₁+y₂==-y₂,y₁y₂==-2y₂².

消去y₂,得=-2()²,化簡,得(a²+b²)(a²-1)=8b².

若F是橢圓的一個焦點,則c=1,b²=a²-1,代入上式,解得a²=,b²=,

所以橢圓的方程為=1.