Question

已知函數f(x)＝aln x＝(a為常數)．

(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x＋2y－5＝0垂直，求a的值；

(2)求函數f(x)的單調區間；

(3)當x≥1時，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）a＝1（2）f(x)的單調增區間為(0，＋∞)，單調減區間為（3）a≤1.

【解析】(1)函數f(x)的定義域為{x|x＞0}，f′(x)＝.

又曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x＋2y－5＝0垂直，

所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(4分)

(2)由f′(x)＝ (x＞0)，

當a≥0時，

f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的單調增區間為(0，＋∞)．

當a＜0時，

由f′(x)＞0，得0＜x＜－，

所以f(x)的單調增區間為；

由f′(x)＜0，得x＞－，

所以f(x)的單調減區間為.(10分)

(3)設g(x)＝aln x－－2x＋3，x∈[1，＋∞)，

則g′(x)＝＋－2＝.

令h(x)＝－2x2＋ax＋1，考慮到h(0)＝1＞0，

當a≤1時，

h(x)＝－2x2＋ax＋1的對稱軸x＝＜1，

h(x)在[1，＋∞)上是減函數，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，

所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是減函數，

所以g(x)≤g(1)＝0，即f(x)≤2x2－3恒成立．

當a＞1時，

令h(x)＝－2x2＋ax＋1＝0，

得x1＝＞1，x2＝＜0，

當x∈[1，x1)時，h(x)＞0，即g′(x)＞0，

g(x)在[1，x1)上是增函數；

當x∈(x1，＋∞)時，h(x)＜0，即g′(x)＜0，

g(x)在(x1，＋∞)上是減函數．

所以0＝g(1)＜g(x1)，即f(x1)＞2x1－3，不滿足題意．

綜上，a的取值范圍為a≤1.(16分)