Question

已知平面上兩定點M（0，-2）、N（0，2），P為一動點，滿足-=||-||．
（I）求動點P的軌跡C的方程；
（II）若A、B是軌跡C上的兩不同動點，且=λ．分別以A、B為切點作軌跡C的切
線，設其交點Q，證明-為定值．

Answer 1

解：（I）設P（x，y）．
由已知 =（x，y+2），=（0，4），=（-x，2-y），
•=4y+8．
||•||=4x²+（y-2）²（3分）
∵•=||•||
∴4y+8=4 x²+（y-2）²整理，得x²=8y
即動點P的軌跡C為拋物線，其方程為x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由=λ
即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）-x₁=λx₂²-y₁=λ（y₂-2）
將（1）式兩邊平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λy₂（3分）
解（2）、（3）式得 y₁=2λ，y₂=2λ，
且有x₁x₂=-λx₂2=-8λy₂=-16．（8分）
拋物線方程為 y=18x₂，求導得y′=14x．
所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是
y=14x₁（x-x₁）+y₁，y=14x2（x-x₂）+y₂，
即y=14x₁x-18x₁2，y=14x₂x-18x₂2
解出兩條切線的交點Q的坐標為 （x₁+x₂2，x₁x₂8）=（x₁+x₂2，-2）（11分）
所以 NO→•AB→=（x₁+x₂2，-4）•（x₂-x₁，y₁-y₂）
=12（x₂2-x₁2）-4（18x₂2-18x₁2）=0
所以 -為定值，其值為0．（13分）
分析：（I）先設P（x，y），欲動點P的軌跡C的方程，即尋找x，y之間的關系，結合向量的坐標運算即可得到．
（II）先設出A，B兩點的坐標，利用向量關系及向量運算法則，用A，B的坐標表示出-，最后看其是不是定值即可．
點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題 求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．