Question

（1）已知

1

C m5

-

1

C m6

=

7

10 C m7

，求C₈^m；
（2）解方程C₁₆^x2-x=C₁₆^5x-5；
（3）計算C₁₀⁰+C₁₁¹+C₁₂²+…+C₁₀₀⁹⁹．

Answer 1

（1）由已知得

m!(5-m)!

5!

-

m!(6-m)!

6!

=

7(7-m)!m!

10•7!

，
化簡得m²-23m+42=0，
解得m=2或21，
但0≤m≤5，故m=2．
∴

C

m8

=

C

28

=

8×7

2×1

=28．
（2）原方程可化為x²-x=5x-5或x²-x=16-（5x-5），
即x²-6x+5=0或x²+4x-21=0，
解得x=1或x=5或x=-7或x=3，
經檢驗x=5或x=-7不合題意，
故原方程的根為x=1或x=3．
（3）原式=（C₁₁⁰+C₁₁¹）+C₁₂²+…+C₁₀₀⁹⁹=（C₁₂¹+C₁₂²）+…+C₁₀₀⁹⁹
=（C₁₃²+C₁₃³）++C₁₀₀⁹⁹=

C

99101

=

C

2101

=

101×100

2×1

=5050．