Question

已知函數f（x）=x³-ax²-bx+a²，x∈R，a，b為常數．
（1）若函數f（x）在x=1處有極值10，求實數a，b的值；
（2）若函數f（x）是奇函數，
①方程f（x）=2在x∈[-2，4]上恰有3個不相等的實數解，求實數b的取值范圍；
②不等式f（x）+2b≥0對?x∈[1，4]恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，令導函數在x=1的值為0，令函數在x=1的值10，列出方程組，求出a，b的值，將求出的a，b值代入導函數，判斷是否在x=0取得極值．
（2）①構造新函數，求出新函數的導數，通過對b的討論，判斷出函數的單調性，求出函數的極值，據方程根的個數，判斷出極值的符號，列出不等式求出b的范圍．
②通過對x的分段討論分離出b，構造函數，通過導數求出函數的最值，求出b的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax-b，
由f（x）在x=1處有極值10，得f’（1）=0，f（1）=10．                      
即3-2a-b=0，1-a-b+a?2=10，
解得a=3，b=-3或a=-4，b=11．  
經檢驗，a=3，b=-3不合題意，舍去．
∴a=-4，b=11．                             
（2）由于函數f（x）的定義域為R，
由函數f（x）是奇函數，得f（0）=0，
∴a=0．      
①由f（x）=2，得f（x）-2=0，
令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，
則方程g（x）=0在x∈[-2，4]上恰有3個不相等的實數解．
∵g′（x）=3x²-b，
（ⅰ）若b≤0，則g′（x）≥0恒成立，且函數g（x）不為常函數，
∴g（x）在區間[-2，4]上為增函數，g（0）=0，
所以，g（x）=0在區間[-2，4]上有且只有一個實數解．
不合題意，舍去．
（ⅱ）若b＞0，則函數g（x）在區間（-∞，-

b 3

）上為增函數，在區間（-，

b 3

）上為減函數，
在區間（

b 3

，+∞）上為增函數，
由方程g（x）=0在x∈[-2，4]上恰有3個不相等的實數解，
可得

f(-2)≤0 f(- b 3 )＞0 f(4)≥0

解得

b≤5 b＞3 b≤ 31 2

∴b∈（3，5]
②由不等式f（x）+2b≥0，得x³-bx+2b≥0，即（x-2）b≤x³，
（ⅰ）若x-2=0即x=2時，b∈R；            
（ⅱ）若x-2＜0即x∈[1，2）時，b≥

x3

x-2

在區間[1，2）上恒成立，
令h（x）=

x3

x-2

，則b≥h（x）_max．
∵h′（x）=

2x2(x-3)

(x-2)2

，
∴h′（x）＜0在x∈[1，2）上恒成立，
所以h（x）在區間[1，2）上是減函數，
∴h（x）_max=h（1）=-1，
∴b≥-1．          
（ⅲ）若x-2＞0即x∈（2，4]時，b≤

x3

x-2

在區間（2，4]上恒成立，則b≤h（x）_min．
由（ⅱ）可知，函數所以h（x）在區間（2，3）上是減函數，在區間（3，4]上是增函數，
∴h（x）_min=h（3）=27，
∴b≤27．                                
綜上所述，b∈[-1，27]．

點評：解決函數的極值問題要注意：極值點處的導數值為0是函數取得極值的必要不充分條件；解決不等式恒成立問題常采用分離參數轉化為求函數的最值．