Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=，D為AA₁中點，BD與AB₁交于點O，CO丄側面ABB₁A_1.

(Ⅰ)證明：BC丄AB₁；
(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C₁-BD-C的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）因為是矩形，推出，
又，得到，所以，得到,得到          
（Ⅱ）二面角的余弦值為 .

試題分析：（Ⅰ）因為是矩形，

為中點，，，,
所以在直角三角形中,,
在直角三角形中,,
所以=,
又，   ，
所以在直角三角形中，故，
即，               4分
又因為，,
所以
所以，,,
故           6分
（Ⅱ）解法一：
如圖，由（Ⅰ）可知，兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

在RtDABD中，可求得,,，
在RtDABB­₁中，可求得 ，
故,,,
所以 ,,
可得，               8分
設平面的法向量為 ，則 ，
即，
取，則 ，         10分
又，
故，
所以，二面角的余弦值為              12分
解法二：連接交于,連接，

因為，所以，又，
所以，故
所以為二面角的平面角            8分
，，  ，
,   ，
在RtDCOB­₁中，
 ，               10分
又    ，
故二面角的余弦值為 .            12分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。注意運用轉化與化歸思想，將空間問題轉化成平面問題。