Question

（本小題滿分13分）

已知點為拋物線: 的焦點，為拋物線上的點，且．

（Ⅰ）求拋物線的方程和點的坐標；

（Ⅱ）過點引出斜率分別為的兩直線，與拋物線的另一交點為，與拋物線的另一交點為，記直線的斜率為．

（ⅰ）若，試求的值；

（ⅱ）證明：為定值．

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2),在第一問的基礎上，分析得到三個斜率的關系式，然后化簡變形得到證明。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）∵，∴

∴拋物線：．

又在拋物線上，

∴．∴．

（Ⅱ）（ⅰ）設直線，

∵與拋物線交于、兩點，∴.

由得：，

設，則，

∴，即.

同理可得.

，.

∴．

（ⅱ）證明：由（ⅰ）可知

，，即證得為定值．……13分

考點：拋物線方程，圓錐曲線性質(zhì)

點評：本題主要通過研究拋物線的標準方程、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等