Question

已知定義在R上的偶函數f（x）滿足條件：f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數，給出下面關于f（x）的命題：
①f（x）是周期函數；    
②f（x）在[0，1]上是增函數    
③f（x）在[1，2]上是減函數       
④f（2）=f（0）
其中正確的命題序號是

①④

．（注：把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），由周期函數的定義可以判斷①的正誤；
根據偶函數在對稱區間上對稱性相反，結合已知f（x）在[-1，0]上是增函數，可判斷②的真假；
根據函數的周期性及②中結論，可判斷③的真假；
根據函數的周期性，可判斷④的真假；

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），故f（x）是以2為周期的周期函數，故①正確；
∵偶函數f（x）在對稱區間上單調性相反，且f（x）在[-1，0]上是增函數，得f（x）在[0，1]上是減函數，故②錯誤；
∵f（x）在[-1，0]上是增函數，且f（x）是以2為周期的周期函數，∴f（x）在[1，2]上是增函數，故③錯誤；
∵f（x）是以2為周期的周期函數，∴f（2）=f（0），故④正確；
故答案為：①④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的單調性，奇偶性和周期性，其中熟練掌握周期函數在對應周期上單調性相同，偶函數在對稱區間上單調性相反等性質是解答的關鍵．