Question

如圖，在四棱錐中，平面平面.
（1）證明：平面;
（2）求二面角的大小

Answer 1

（1）詳見解析；（2）二面角的大小是．

試題分析：（1）求證：平面，證明線面垂直，先證線線垂直，即證線和平面內兩條相交直線垂直，由已知可得，只需證明，或，由已知平面平面，只需證明，就得平面，即，而由已知，在直角梯形中，易求，從而滿足，即得，問題得證；（2）求二面角的大小，可用傳統方法，也可用向量法，用傳統方法，關鍵是找二面角的平面角，可利用三垂線定理來找，但本題不存在利用三垂線定理的條件，因此利用垂面法，即作，與交于點，過點作，與交于點，連結，由（1）知，，則，，所以是二面角的平面角，求出的三條邊，利用余弦定理，即可求出二面角的大小，用向量法，首先建立空間坐標系，先找三條兩兩垂直的直線作為坐標軸，觀察幾何圖形可知，以為原點，分別以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標系，寫出個點坐標，設出設平面的法向量為，平面的法向量為，求出它們的一個法向量，利用法向量的夾角與二面角的關系，即可求出二面角的大小．
（1）在直角梯形中，由，得，，由，則，即，又平面平面，從而平面，所以，又，從而平面；
（2）方法一：作，與交于點，過點作，與交于點，連結，由（1）知，，則，，所以是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，從而，，由于平面，得：，在中，由，，得，

在中，，，得，在中，，，，得，，從而，在中，利用余弦定理分別可得，在中，，所以，即二面角的大小是．
方法二：以為原點，分別以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標系如圖所示，由題意可知各點坐標如下：，設平面的法向量為，平面的法向量為，可算得，，由得，，可取，由得，，可取，于是，由題意可知，所求二面角是銳角，故二面角的大小是．

點評：本題主要考查空間點，線，面位置關系，二面角等基礎知識，空間向量的應用 ，同時考查空間想象能力，與推理論證，運算求解能力．