Question

某市環保局為貫徹十七大報告提出加大保護環境力度方針．調查了該市水泥廠的污染情況，調查發現，水泥廠的煙囪向其他周圍地區散落煙塵造成環境污染．已知A，B兩座水泥廠煙囪相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵是A煙囪的8倍，經環境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比（比例系數均為k）．若C是AB連線上的點，設AC=x km，C點的煙塵濃度記為y．
（1）寫出y關于x的函數表達式；
（2）是否存在這樣的點C，使該點的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）不妨設A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出的煙塵量為8，
由AC=x（0＜x＜20），可得BC=20-x． …（2分）
C處的煙塵濃度y的函數表達式為．…（4分）
（2）對（1）中的函數表達式求導得…（8分）
令y′=0，得（3x-20）（3x²+400）=0，
∵0＜x＜20，
∴…（11分）
∵當時y′＜0，當時y′＞0，
∴當時，y有最小值． …（12分）
故存在點C，當時，該點的煙塵濃度最低．…（13分）
分析：（1）設B處煙塵量為1，則A處煙塵量為8，根據煙塵濃度與到煙囪距離的關系可求得A、B在C處的煙塵濃度，然后兩者相加可得y關于x的函數．
（2）對（1）中函數進行求導，然后令導函數等于0求x的值，然后判斷原函數的單調性進而可求得最小值．
點評：本題以環保為素材，考查函數模型的構建，考查根據導數求函數的最值的問題．屬中檔題．題．