Question

(本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（I）當(dāng)時(shí)，如果關(guān)于的方程：有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（II）當(dāng)時(shí)，試比較與1的大小；

（Ⅲ）求證：．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域是，

， 令，得或．  …1分

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

   函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  ……………2分

的極大值是，極小值是．

當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或．……………4分

  （2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501330990622779/SYS201205250136003125645262_DA.files/image003.png">．

      令，

       ，

       在上是增函數(shù)．              …………………………………8分

①當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)時(shí)，，即；

③當(dāng)時(shí)，，即．  …………………………………8分

（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，    ． ……………10分

，

．                ……………………………………12分

 (法二)當(dāng)時(shí)，．

，，即時(shí)命題成立．   ………………………………9分

設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即 ．

 時(shí)，．

根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，

則有，即時(shí)命題也成立．……………11分

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．                 ………………………………12分

【解析】略