Question

（2006•廣州一模）如下圖，在△OAB中，|OA|=|OB|=4，點P分線段AB所成的比為3：1，以OA、OB所在直線為漸近線的雙曲線M恰好經過點P，且離心率為2．
（1）求雙曲線M的標準方程；
（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線M交于不同的兩點E、F，且E、F兩點都在以Q（0，-3）為圓心的同一圓上，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據曲線M的離心率為2，可設雙曲線M的方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，從而可得∠BOx=60°，可求得B（2，2

3

），A（2，-2

3

），根據點P分線段AB所成的比為3：1得P（2，

3

），代入雙曲線方程，即可求出雙曲線M的方程；
（2）將執行方程與雙曲線方程聯立

y=kx+m x2 3 - y2 9 =1

，消去y得（k²-3）x²+2kmx+m²+9=0
根據直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線M交于不同的兩點，可得

k2-3≠0 △＞0

，從而有

k2≠3 m2+9＞3k 2

 
利用E、F兩點都在以Q（0，-3）為圓心的同一圓上，所以NQ⊥EF，從而kNQ=

y0+3

x0-0

=

-3m+3k2-9

-km

=-

1

k

由此得

4m+9＞0 m2+9＞4m+9 m≠0

，從而求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）因為曲線M的離心率為2，所以可設雙曲線M的方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1
由此可得漸近線的斜率k=±

3

∴∠BOx=60°，
從而B（2，2

3

），A（2，-2

3

）
又因為點P分線段AB所成的比為3：1
故P（2，

3

），代入雙曲線方程得a²=3，
故雙曲線M的方程為：

x2

3

-

y2

9

=1
（2）如圖所示，由

y=kx+m x2 3 - y2 9 =1

⇒（k²-3）x²+2kmx+m²+9=0
設E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），線段EF的中點為N（x₀，y₀），則有

k2-3≠0 △＞0

⇒

k2≠3 m2+9＞3k 2

 ①
由韋達定理得x0=-

km

k2-3

，y0=kx0+m=-

3m

k2-3

因為E、F兩點都在以Q（0，-3）為圓心的同一圓上，所以NQ⊥EF，
即kNQ=

y0+3

x0-0

=

-3m+3k2-9

-km

=-

1

k

∴3k²=4m+9    ②
由①②得

4m+9＞0 m2+9＞4m+9 m≠0

∴m＞4或-

9

4

＜m＜0

點評：本題以雙曲線的幾何性質為載體，考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，有難度．