Question

已知m＞0且m≠1函數f（x）=logm

x-3

x+3

（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若m=

1

2

，當x∈[5，9]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）令

x-3

x+3

＞0，解不等式可求函數的定義域
（2）檢驗f（-x）+f（x）=logm

x-3

x+3

+logm

-x-3

-x+3

=logm

(x-3)(-x-3)

(3+x)(3-x)

=log_m1=0可判斷
（3）由題意可得f（x）=log

1

2

x-3

x+3

=log

1

2

(1+

-6

x+3

)，利用函數的單調性可求函數的最值

解答：解：（1）令

x-3

x+3

＞0，可得x＞3或x＜-3
∴函數的定義域為{x|x＞3或x＜-3}
（2）f（x）為奇函數
證明：∵函數的定義域為{x|x＞3或x＜-3}
∵f（-x）+f（x）=logm

x-3

x+3

+logm

-x-3

-x+3

=logm

(x-3)(-x-3)

(3+x)(3-x)

=log_m1=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數
（3）解：m=

1

2

時，f（x）=log

1

2

x-3

x+3

=log

1

2

(1+

-6

x+3

)
由于函數t=1+

-6

x +3

在定義域[5，9]上單調遞增，而y=log

1

2

t為單調遞減函數
由復合函數的單調性可知，函數f（x）=log

1

2

x-3

x+3

=log

1

2

(1+

-6

x+3

)在[5，9]上單調遞減
∴f（x）_min=f（9）=1，f（x）_max=f（5）=2
函數f（x）的值域[1，2]

點評：本題綜合考查了函數的定義域、函數的奇偶性及函數的單調性的判斷及利用函數的單調性求解函數的最值