Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+3是偶函數，且過點（-1，4），函數g（x）=x+4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（2^x）+g（2^x+1）的值域；
（3）定義在[p，q]上的一個函數m（x），用分法T：p=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=q將區間[p，q]任意劃分成n個小區間，如果存在一個常數M＞0，使得不等式|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_i）-m（x_i-1）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，則稱函數m（x）為在[p，q]上的有界變差函數．試判斷函數f（x）是否為在[1，2]上的有界變差函數？若是，求M的最小值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數f（x）=ax²+bx+3是偶函數，滿足f（-x）=f（x），且過點（-1，4），求出a，b值，可得f（x）的解析式；
（2）求出函數y=f（2^x）+g（2^x+1）的解析式，利用換元法結合二次函數的圖象和性質，可得函數的值域；
（3）結合已知中有界變差函數的定義，結合函數f（x）在[1，2]上單調性，可得

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)+…+f(xn)-f(xn-1)=3，進而得到M的最小值．

解答：解：（1）∵二次函數f（x）=ax²+bx+3是偶函數，
∴對任意x∈R，f（-x）=f（x）
∴ax²-bx+3=ax²+bx+3
即-b=b
解得：b=0
∴f（x）=ax²+3，…（2分）
把點（-1，4）代入得a+3=4，解得a=1
∴f（x）=x²+3       …（4分）
（其他解法如：因為f（x）是R上的偶函數，所以b=0，也可得分）
（2）y=f（2^x）+g（2^x+1）=（2^x）²+3+2^x+1+4=（2^x）²+2•2^x+7     …（5分）
設t=2^x，則t＞0，
則y=t²+2t+7=（t+1）²+6＞7
∴函數y=f（2^x）+g（2^x+1）的值域為（7，+∞）     …（9分）
（3）函數f（x）=x²+3為[1，2]上的有界變差函數．…（10分）
∵函數f（x）為[1，2]上的單調遞增函數，
且對任意劃分T：1=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=2，
有f（1）=f（x₀）＜f（x₁）＜…＜f（x_n-1）＜f（x_n）=f（2），
∴

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)+…+f(xn)-f(xn-1)=f（x_n）-f（x₀）=f（2）-f（1）=7-4=3，…（12分）
∴存在常數M≥3，使得

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立，
∴M的最小值為3．…（14分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，函數的奇偶性的性質，函數的值域，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．