Question

設

a

=（1-cosα，sinα），

b

=（1+cosβ，sinβ），

c

=（1，0），α、β∈（0，π），

a

與

c

的夾角為θ₁，

b

與

c

的夾角為θ₂，且θ₁-θ₂=

π

3

．
（1）求cos（α+β）的值；（2）設

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OD

=

d

，且

a

+

b

+

d

=3

c

求證：△ABD是正三角形．

Answer 1

分析：（1）由向量的數量積的坐標表示，求出cosθ1= sin

α

2

，cosθ2=cos

β

2

，結合已知可得θ1= 

π

2

-

α

2

，θ2=

β

2

，從而求出α+β=

π

3

，cos(α+β)=

1

2

（2）利用向量的加法、減法把向量

AB

，

AD

，

BD

的坐標表示出，然后求出向量的模|

AB

|，|

AD

|，|

BD

|，從而判斷△ABD為等邊三角形

解答：解：（1）∵α、β∈（0，π），
∴

α

2

、

β

2

∈（0，

π

2

），
故cosθ₁=

a•c

|a||c|

=

1-cosα

2-2cosα

=

1-cosα 2

=sin

α

2

=cos(

π

2

-

α

2

)，
cosθ₂=

b•c

|b||c|

=

1+cosβ

2+2cosβ

=

1+cosβ 2

=cos

β

2

，
∴θ1=

π

2

-

α

2

，θ2=

β

2

．
又θ₁-θ₂=

π

3

，即

π

2

-

α

2

-

β

2

=

π

3

，可得α+β=

π

3

，故cos（α+β）=

1

2

．

（2）∵

AB

=

OB

-

OA

=

b

-

a

=（cosβ+cosα，sinβ-sinα），
∴|

AB

|=

(cosβ+cosα)2+(sinβ-sinα)2

=

2+2cos(β+α)

=

3

，
由

a

+ 

b

+

d

=3

c

，可得

d

=3

c

-

a

-

b

=（1+cosα-cosβ，-sinα-sinβ），
∵

AD

=

OD

-

OA

=

d

-

a

=（2cosα-cosβ，-2sinα-sinβ），
∴|

AD

|=

(2cosα-cosβ)2+(2sinα+sinβ)2

=

5-4cos(β-α)

=

3

，
同理可得|

BD

|=

3

，故|

AB

|=|

AD

|=|

BD

|，故△ABD是正三角形．

點評：本題綜合考查向量數量積的定義及數量積的坐標表示，三角函數的誘導公式，由向量的坐標求模的求法，綜合知識點較多，但都是基本運用，難度不大．