Question

已知函數f(x)=

2x

x+1

，數列{a_n}滿足a₁=a（a≠-2，a∈R），an+1=f(an)(n∈N*)．
（Ⅰ）若數列{a_n}是常數列，求a的值；
（Ⅱ）當a₁=

2

3

時，記bn=

1

an

-1(n∈N*)，證明數列{b_n}是等比數列，并求出{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若數列{a_n}是常數列，則a₂=a₁=a，即可求得a的值；
（Ⅱ）當a₁=

2

3

時，可求得

bn+1

bn

=

1

2

，利用等比數列的概念可證明數列{b_n}是等比數列，從而可求得{b_n}的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，a_n+1=

2an

an+1

，
∵a₁=a（a≠-2，a∈R），數列{a_n}是常數列，
∴a_n+1=a_n=a，
∴

2a

a+1

=a，
∴a=1或a=0（舍），
∴a=1；
（Ⅱ）證明∵a_n+1=

2an

an+1

，
∴

1

an+1

=

an+1

2an

=

1

2an

+

1

2

，
∴

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1），又b_n=

1

an

-1（n∈N^*），
∴b_n+1=

1

2

b_n，
∴

bn+1

bn

=

1

2

，又a₁=

2

3

，b₁=

1

a1

-1=

1

2

，
∴數列{b_n}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列，
∴b_n=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．

點評：本題考查等比關系的確定，考查等比數列的通項公式，證明數列{b_n}是等比數列是難點所在，考查轉化與運算能力，屬于中檔題．