Question

已知(1+2

x

)n的展開式中，某一項的系數是它前一項系數的2倍，而又等于它后一項系數的

5

6

．
（1）求展開后所有項的系數之和及所有項的二項式系數之和；
（2）求展開式中的有理項．

Answer 1

分析：利用展開式項的系數，由已知，求出n，
（1）令x=1，得展開后所有項的系數之和
（2）令展開式中x的指數為整數，求出有理項．

解答：解：(1+2

x

)n的展開式的通項Tr+1=

2rC

r n

x

r

2

，由已知，得出

2rC r n =2• 2r-1C r-1 n   ① 2rC r n = 5 6 2r+1C r+1 n  ②

  化簡

C r n = C r-1 n   ① C r n = 5 3 C r+1 n  ②

，

r+(r-1)=n n-r r+1 = 3 5

解得

r=4 n=7

（1）在展開式兩端令x=1，得展開后所有項的系數之和 為3⁷=2187．
所有項的二項式系數之和 2⁷=128．
（2）當

r

2

為整數時，項為有理項．所以r=0，2，4，6．
有理項分別為 1，2²C₇²x=84x，2⁴C₇⁴x²=560x²，2⁶C₇⁶x³=448x³．

點評：本題考查二項式定理的應用，求項的系數、有理項．考查賦值、計算能力．本題需先求出n的值．