Question

如圖已知拋物線的焦點坐標為，過的直線交拋物線于兩點，直線分別與直線：相交于兩點．

(1)求拋物線的方程；
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查拋物線、直線的方程，以及直線與拋物線的位置關系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數形結合思想、坐標化方法等.第一問，利用拋物線的標準方程，利用焦點坐標求出，代入即可；第二問，討論直線垂直和不垂直軸2種情況，當直線垂直于軸時，2個三角形相似，面積比為定值，當直線不垂直于軸時，設出直線的方程，設出四個點坐標，利用直線與拋物線相交列出方程組，消參得到方程，利用兩根之積得為定值，而面積比值與有關，所以也為定值.
試題解析：（1）由焦點坐標為 可知
所以,所以拋物線的方程為                     5分
（2）當直線垂直于軸時，與相似，
所以,                        7分
當直線與軸不垂直時，設直線AB方程為,
設，，，，
解整理得，                      9分
所以,                                        10分
,
綜上                               12分