Question

設函數f ( x )的定義域、值域均為R，f ( x ) 反函數為f¹ ( x ),且對任意實數x，均有f ( x ) + f¹ ( x )＜。定義數列{a_n} : a₀ = 8 , a₁ = 10 , a_n = f (a_n1 ) , n = 1, 2 , … .

（1）求證：a_n+1 + a_n1＜a_n ( n = 1 , 2 , … ) ;

（2）設求證：；

（3）是否存在常數A和B，同時滿足；

①當n = 0 及n = 1 時，有a_n =成立；

②當n = 2 , 3, … 時，有a_n＜成立。

 如果存在滿足上述條件的實數A、B的值；如果不存在，證明你的結論。

Answer 1

解：（1）∵f ( x ) + f¹ ( x )＜x ,令x = a_n , 則f ( a_n ) + f¹ ( a_n )＜ a_n 

a_n+1 + a_n1＜ a_n

（2）∵a_n+1＜ a_n a_n1           

∴a_n+1 2a_n＜( a_n 2a_n1 )  即b_n＜b_n1

∵b₀ = a₁ 2a₀ = 6

∴ b_n＜

（3）由（2）可知：b_n＜

假設存在常數A和B，使得a_n對n = 0, 1 成立。則

 解得A = B = 4

下面用數學歸納法證明a_n＜對一切n≥2，n∈N*成立.

1)當n = 2時，由a_n+1 + a_n1＜a_n , 得a₂＜a₁ a₀ =

∴n = 2時，a_n＜成立。

2）假設 n = k ( k≥2 )時，不等式成立，即a_k＜，則

a_k+1＜2a_k + ( 6 ) ＜2×+( 6 ) =，

這說明n = k+1 時，不等式成立。

綜合1），2），可知a_n＜對一切n≥2，n∈N成立。

∴A = B = 4 滿足題設