Question

(2006安徽，21)數列的前n項和為，已知，，n=1，2，…．

(1)寫出與的遞推關系式(n≥2)，并求關于n的表達式；

(2)設，，求數列的前n項和．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)當n≥2時， ，即， ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 已知，由遞推關系式可得，， 由此，可猜想：．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 下面用數學歸納法證明②式： 證明：(ⅰ)當n=1時，由條件， 又②式的右邊等于，所以②式成立． (ⅱ)假設n=k時，②式成立，即． 則當n=k＋1時， ， 故當n=k＋1時，②式也成立． 由(ⅰ)，(ⅱ)知，對一切正整數n，②式成立． (2)∵， ∴， ∴．　　　　　　　　　　　③ 當p=0時，； 當p=1時，； 當p≠0，1時，在③式兩邊同乘以p，得到．④ ③－④得， ∴． 綜上所述：