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如圖所示,過拋物線y2=2px的頂點O作兩條互相垂直的弦交拋物線于A、B兩點.

(1)證明直線AB過定點;

(2)求△AOB面積的最小值.

解：(1)設直線AB的方程為y=k(x-a),A(x1,y1),B(x2,y2).聯立方程

消去x得ky2-2py-2pak=0,

則y1y2=-2pa.又OA⊥OB.

∴y1y2=-x1x2.

由方程組消去y,得k2x2-(2k2a+2p)x+k2a2=0,則x1·x2=a2.因此,a2=2pa.∴a=2p.

故直線AB過定點(2p,0).

(2)由(1)知:AB恒過定點M(2p,0).

∴S△AOB=S△AOM+S△BOM=|OM|(|y1|+|y2|)≥p(2|).

又y12=2px1,y22=2px2,

∴(y1y2)2=4p2x1x2.

又∵y1y2=-x1x2,

于是|y1y2|=4p2.

故S△AOB的最小值為4p2.

綠色通道：

對于直線、曲線方程聯立求解,靈活運用整體思想及韋達定理可簡化解答;另外應注意圖形的有效利用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網設b＞0，橢圓方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1，拋物線方程為y=
1
8
x2+b，如圖所示，過點F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G處的切線經過橢圓的右焦點F1．
（1）求點G和點F1的坐標（用b表示）；
（2）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（3）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

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精英家教網設b＞0，橢圓方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1，拋物線方程為x2=8（y-b）．如圖所示，過點F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F1．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，過點M（m，1）作直線AB交拋物線x2=y于A，B兩點，且|AM|=|MB|，過M作x軸的垂線交拋物線于點C．連接AC，BC，記三角形ABC的面積為S△，記直線AB與拋物線所圍成的陰影區域的面積為S弓．
（1）求m的取值范圍；
（2）當S△最大時，求m的值；
（3）是否存在常數λ，使得
S△S弓
=λ？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：廣東省高考真題 題型：解答題

設b＞0，橢圓方程為，拋物線方程為x2=8（y-b），如圖所示，過點F(0，b+2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F1，
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年北京四中高二（上）期末數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設b＞0，橢圓方程為，拋物線方程為x2=8（y-b）．如圖所示，過點F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F1．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

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