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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則
xy
x+y
的值（　　）
分析：由G為三角形的重心得到
AG
=
1
3
（
AB
+
AC
），再結合
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，我們根據M，G，N三點共線，易得到x，y的關系式，整理后即可得到
xy
x+y
的值．
解答：解：根據題意G為三角形的重心，
AG
=
1
3
（
AB
+
AC
），
MG
=
AG
-
AM
=
1
3
（
AB
+
AC
）-x
AB
=(
1
3
-x)
AB
+
1
3
AC
，
GN
=
AN
-
AG
=y
AC
-
AG

=y
AC
-
1
3
(
AB
+
AC
)
=(y-
1
3
)
AC
-
1
3
AB
，
由于
MG
與
GN
共線，根據共線向量基本定理知，存在實數λ，使得
MG
=λ
GN
，
即(
1
3
-x)
AB
+
1
3
AC
=λ[(y-
1
3
)
AC
-
1
3
AB
]，
即
1
3
-x=-
1
3
λ
1
3
=λ(y-
1
3
)

∴
1
3
-x
-
1
3
=
1
3
y-
1
3

即x+y-3xy=0
∴x+y=3xy即
xy
x+y
=
1
3

故選B．
點評：本題主要考查了三角形重心的性質，以及向量數乘的運算及其幾何意義和向量在幾何中的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知點G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x軸上有一點M，滿足|
MA
|=|
MC
|，
GM
=λ
AB
(λ∈R)（若△ABC的頂點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則該三角形的重心坐標為G(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
)）．
（1）求點C的軌跡E的方程．
（2）設（1）中曲線E的左、右焦點分別為F1、F2，過點F2的直線l交曲線E于P、Q兩點，求△F1PQ面積的最大值，并求出取最大值時直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點G是△ABC的重心，
AG
=λ
AB
+μ
AC
(λ，μ∈R)，那么λ+μ=
 
；若∠A=120°，
AB
•
AC
=-2，則|
AG
|的最小值是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點G是△ABC的重心，點P是△GBC內一點，若
AP
=λ
AB
+μ
AC
，則λ+μ的取值范圍是（　　）
A、(
1
2
，1)
B、(
2
3
，1)
C、(1，
3
2
)
D、（1，2）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（文）已知奇函數f（x）滿足f（x+3）=f（x），當x∈（0，1）時，函數f（x）=3x-1，則f(log
1
3
36)=
 

（理）已知點G是△ABC的重心，O是空間任意一點，若
OA
+
OB
+
OC
=λ
OG
，則λ的值是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列六個命題：
①sin1＜3sin
1
3
＜5sin
1
5

②若f'（x0）=0，則函數y=f（x）在x=x0取得極值；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定是：“?x∈R，均有ex≥0”；
④已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則
1
x
+
1
y
=3；
⑤已知a=
∫
π
0
sinxdx，點(
3
，a)到直線
3
x-y+1=0的距離為1；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，對任意的實數x恒成立，則實數a≤-1，或a≥4；
其中真命題是
①③④⑤
①③④⑤
（把你認為真命題序號都填在橫線上）

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