Question

　等差數列{a_n}的前n項的和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為_________.

Answer 1

210

解法一: 將S_m=30,S_2m=100代入S_n=na₁+d,得:
                                              

解法二:由知，
要求S_3m只需求m［a₁+］,
將②－①得ma₁+d=70,∴S_3m=210.
解法三:由等差數列{a_n}的前n項和公式知，S_n是關于n的二次函數，即S_n=An²+Bn(A、B是常數）.
將S_m=30,S_2m=100代入，得
,∴S_3m=A·(3m)²+B·3m=210
解法四:
S_3m=S_2m+a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m
=S_2m+(a₁+2md)+…+(a_m+2md)
=S_2m+(a₁+…+a_m)+m·2md
=S_2m+S_m+2m²d 
由解法一知d=,代入得S_3m=210 
解法五:根據等差數列性質知 S_m,S_2m－S_m,S_3m－S_2m也成等差數列，
從而有: 2(S_2m－S_m)=S_m+(S_3m－S_2m)
∴S_3m=3(S_2m－S_m)=210
解法六:∵S_n=na₁+d,
∴=a₁+d
∴點(n,)是直線y=+a₁上的一串點，
由三點(m,),(2m,),(3m,)共線，易得S_3m=3(S_2m－S_m)=210 
解法七: 令m=1得S₁=30，S₂=100，得a₁=30,a₁+a₂=100,∴a₁=30,a₂=70
∴a₃=70+(70－30)=110
∴S₃=a₁+a₂+a₃=210