Question

若函數f(x)是R上的增函數,且恒有f(x)＞0,設F(x)=.利用函數的單調性定義證明函數F(x)是R上的減函數.

Answer 1

思路解析:利于單調性定量化定義證明的關鍵是推證F(x₁)和F(x₂)的大小.

證明:在區間R上任意選取x₁,x₂,且x₁＜x₂.∵f(x)是區間R上的增函數,

∴f(x₁)＜f(x₂).又∵f(x)＞0,∴0＜f(x₁)＜f(x₂).∴＞＞0,即F(x₁)＞F(x₂).∴函數F(x)= 是R上的增函數.

誤區警示

在利用函數單調性的定量化定義證明函數的單調性時,雖然“作差”是我們比較大小的一種重要且常用的方法,但是,“作差”也僅是我們比較大小的一種手段,而不是目的,比較大小才是我們的目的.因此,比較大小不一定“作差”,還可以利用不等式的性質比較大小,以及“作商”等方法.