Question

已知不等式log2(ax2-3x+6)＞2的解集{x|x＜1或x＞2}
（1）求a的值；
（2）設k為常數，求f(x)=

x2+k+a

x2+k

的最小值．

Answer 1

（1）由不等式log2(ax2-3x+6)＞2可化為ax²-3x+6＞2²，即ax²-3x+2＞0．
∵不等式log2(ax2-3x+6)＞2的解集{x|x＜1或x＞2}，
∴ax²-3x+2＞0的解集為{x|x＜1或x＞2}．
∴a＞0，且1，2是方程ax²-3x+2=0的兩個實數根，
∴a＞0，1×2=

2

a

，解得a=1．
（2）由（1）可知a=1，∴f（x）=

x2+k+1

x2+k

=

x2+k

+

1

x2+k

（x²＞-k）．
①若k≤1時，f（x）≥2

x2+k × 1 x2+k

=2，
當且僅當

x2+k

=

1

x2+k

，即x=±

1-k

時，f（x）取得最小值2；
②若k＞1，則f^′（x）=

x(x2+k-1)

(x2+k) x2+k

＞0，
∴f（x）單調遞增，
∴當x=0時，f(x)min=

(1+k) k

k

．